Étude des variations de la fonction cosinus sur une période

Propriété

Le tableau de variations de la fonction cosinus sur \([-\pi~;~\pi]\)  est le suivant.

Démonstration

La fonction cosinus étant paire, on peut réduire l'intervalle d'étude à \([0~;~\pi]\) .
La fonction cosinus est dérivable sur \([0~;~\pi]\)  et, pour tout réel `x`  de \([0~;~\pi]\) , on a  \(\cos'(x)=-\sin(x)\) .

À l'aide de l'animation ci-dessus, on constate que :  pour tout réel `x`  de \([0~;~\pi]\) , \(\sin(x)\geqslant 0\)  donc \(-\sin(x)\leqslant 0\) .
La fonction cosinus est donc décroissante sur \([0~;~\pi]\) .
On complète le tableau de variations sur \([-\pi~;~0]\)  par symétrie.